표집분포와 중심극한정리

• 5.1 표집분포
  • 모수(parameter): 모집단에 대한 수치적 특성값 (모평균, 모비율, 모분산…)
  • 통계량(statistic): 표본으로부터 획득한 수치적 정보
  • 표집분포(sampling distribution): 통계량이 가지는 확률분포
  • 확률표본(random sample): 크기가 큰 모집단으로부터 임의 추출된 크기 $n$의 표본 $X_1,X_2,…,X_n$
• 5.2 표본평균의 분포와 중심극한정리
  • 표본평균 $\bar{X}$의 기대값과 분산
  • 정규모집단으로부터의 표본평균에 대한 확률분포
  • 중심극한정리 : 평균이 $\mu$이고 분산이 $\sigma^2$인 모집단으로부터 추출한 크기 $n$의 확률표본의 표본평균 $\bar{X}$는 표본의 크기가 큰 경우(보통 30 이상), 근사적으로 $\mu$이고 분산이 $\frac{\sigma^2}{n}$인 정규분포를 따르게 된다.

R과 함께하는 통계학의 이해 - 최용석

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5.1 표집분포

모수(parameter): 모집단에 대한 수치적 특성값 (모평균, 모비율, 모분산…)

통계량(statistic): 표본으로부터 획득한 수치적 정보

통계량은 그 자체가 하나의 확률변수로서 확률분포를 가지게 된다.

표집분포(sampling distribution): 통계량이 가지는 확률분포

표본 추출과정에서 발생하는 통계량의 값이 가지는 변동은 이 표집분포에 의해 설명될 수 있다.
표집분포는 모집단의 분포에 영향을 받기도 하고 표본의 크기 $n$에도 영향을 받는다.

확률표본(random sample): 크기가 큰 모집단으로부터 임의 추출된 크기 $n$의 표본 $X_1,X_2,…,X_n$

$X_1,X_2,…,X_n$은 서로 독립이고 모집단의 분포와 같은 분포를 가진다.

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5.2 표본평균의 분포와 중심극한정리

크기가 $n$인 확률표본 $X_1,X_2,…,X_n$에 대해
$ E(X) = \mu $, $ Var(X) = \sigma^2 $, $i=1,2,…,n$이고,

$ \bar{X} = \frac{1}{n}\sum{X_i} $일 때,

표본평균 $\bar{X}$의 기대값과 분산

$ E(\bar{X}) = \mu $
$ Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} $

정규모집단으로부터의 표본평균에 대한 확률분포

크기가 $n$인 확률표본 $X_1,X_2,…,X_n$에 대해
$ X_i \sim N(\mu,\sigma^2) $, $i=1,2,…,n$일때,

표본평균 $\bar{X}$의 확률분포는
$ \bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n}) $를 따르게 된다.

중심극한정리 : 평균이 $\mu$이고 분산이 $\sigma^2$인 모집단으로부터 추출한 크기 $n$의 확률표본의 표본평균 $\bar{X}$는 표본의 크기가 큰 경우(보통 30 이상), 근사적으로 $\mu$이고 분산이 $\frac{\sigma^2}{n}$인 정규분포를 따르게 된다.

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